2,4 GHz modul transceiveru NRF24L01

Modul NRF24L01 umožňuje připojit zařízení prostřednictvím kanálu rádiového přenosu dat. Pomocí NRF24L01 je sloučeno až sedm zařízení do společné hvězdné rádiové sítě na frekvenci 2,4 GHz. Jedno zařízení v rádiové síti je master, ostatní jsou slave. Zjednodušeně řečeno, modul transceiveru NRF24L01 2,4 GHz je převodník SPI na RF. Přebírá všechny funkce převodu drátového rozhraní SPI na rádiový signál, obsahuje přijímač, vysílač a miniaturní anténu. Specialista nemusí znát specifika toho, jak modul kóduje data přes rádio, stačí správně zorganizovat provoz SPI a nastavit nastavení pro každý modul pracující v rádiovém můstku.
Modul je založen na mikroobvodu Nordic Semiconductor. Deska obsahuje součástky potřebné pro provoz MS a konektorovou zástrčku. Nastavení výstupního výkonu modulu, rádiových kanálů a nastavení protokolu se provádí přes rozhraní SPI. Kompatibilní s moduly nRF2401A, nRF2402, nRF24E1 a nRF24E2.
Použití zařízení je nejdůležitější pro mobilní zařízení. Můžete například vytvořit bezdrátové připojení pomocí ovládacího panelu videohry, joysticku, počítačové myši a klávesnice. Zajímavou oblastí použití je ovládání pohyblivých malých robotických systémů: kolové a pásové plošiny, kvadrokoptéry. Díky NRF24L01 je možné řešit technické problémy jednoduché telemechaniky a sběru dat ze senzorů. To se používá v bezpečnostních a požárních poplachových systémech, systémech inteligentních domácností, zařízeních pro centralizovaný sběr informací a dalších.

Charakteristika

Výživa
Napětí 1,9-3,6 V
Aktuální
13,5 mA při přenosové rychlosti 2 Mbaud
11,3 mA při výkonu 0 dBm
Špičkový odběr 22 mA

Frekvence kanálu 126
Přenosové rychlosti: 256 Kbaud, 1 Mbaud, 2 Mbaud
GFSK modulace
Citlivost přijímače -85 dBm při 1 Mbaud
Limitní teplota vzduchu
provoz -40…85 °C
skladování -40…125 °C

Rozměry.

Čip nRF24L01+

Mikroobvod obsahuje: frekvenční syntezátor, výkonový zesilovač, oscilátor, demodulátor, modulátor a další části, které tvoří multifunkční transceiver. Komunikace probíhá ve frekvenčním rozsahu 2,4-2,4835 GHz. Frekvence, na které budou moduly pracovat, je určena číslem kanálu. Mají kroky 1 MHz. Kanál 0 odpovídá frekvenci 2,4 GHz, kanál 76 odpovídá frekvenci 2,476 GHz. Při rychlosti 250 kbaud je možná komunikace na větší vzdálenost. V režimu příjmu dat RX je spotřeba proudu vyšší než v režimu vysílání TX. Modul pracuje ve čtyřech režimech: Power Down - vypnuto, Standby - režim spánku, RX Mode - přijímač, TX Mode - vysílač. Čip nRF24L01+ má funkce pro úsporu energie.
Spolehlivá výměna dat je zaručena proprietárním komunikačním protokolem Enhanced ShockBurst™. Příjem dat je potvrzen zpětnou vazbou ve formě odpovědi. Modul transceiveru NRF24L01 2,4 GHz přijímající data odpovídá potvrzením příjmu. Pokud není přijato žádné potvrzení, přenos se opakuje.
Transceiver má tříúrovňovou přijímací vyrovnávací paměť FIFO, rozdělenou do šesti kanálů, a tříúrovňovou vysílací vyrovnávací paměť FIFO. Jeden čip nRF24L01+ je nakonfigurován jako centrální přijímací uzel a 6 jako hlášení dat. Taková označení funkcí jsou do jisté míry libovolné. Ve skutečnosti, bez ohledu na roli MS ve výměně dat, každý z nich funguje střídavě jako přijímač a vysílač. Výměna dat v takové síti probíhá na jednom frekvenčním kanálu. Díky velkému počtu kanálů může v blízkosti pracovat dalších 7 mikroobvodů a stále více...
V přenášeném datovém paketu je za adresovými bity 9 identifikačních bitů. První 2 bity se používají k indikaci dat čítače příjmu paketů pro řízení pořadí příjmu. Zbývajících sedm bitů je nevyužito a vyhrazeno pro budoucí produkty. Z důvodu kompatibility s čipy nRF2401, nRF24E1 a nRF905, nRF9E5 nemusí být pole pro identifikaci paketu použito. Počet opakování přenosu paketu je nastaven programově. Pokud se paket nepodařilo odeslat, vygeneruje se přerušení pro řadič a ve stavovém registru transceiveru se nastaví bit MAX_RT. Pro úspěšný přenos paketů je vygenerován signál přerušení (TX_DS IRQ pin) a vysílací FIFO buffer je vymazán.
Registry na čipu slouží ke konfiguraci různých parametrů a funkcí. Každý registr (kromě tří užitečných registrů) má 5bitovou adresu, která je maskována do instrukcí R_REGISTER a W_REGISTER, pro čtení a zápis.

K dispozici jsou následující registry.

CONFIG - konfigurace přerušení, kontrolního součtu, napájení a stavu Tx/Rx.
EN_AA - Povolí nebo zakáže Enhanced ShockBurst™ na jednotlivých kanálech Rx.
EN_RXADDR - povolení nebo zakázání kanálu Rx.
SETUP_AW - délka adresy.
SETUP_RETR - nastavení zpoždění opakování a počtu pokusů o kontakt v případě neobdržení potvrzení.
RF_CH - nastavení radiofrekvenčního kanálu.
RF_SETUP - nastavení přenosové rychlosti vzduchem, výstupního výkonu a zisku.
STATUS - stav stavových bitů přerušení, vyrovnávací paměť Tx FIFO je plná a počet kanálů, které přijaly pakety.
OBSERVE_TX - počet ztracených a znovu odeslaných paketů.
CD - detekce nosné frekvence.
RX_ADDR_Pn - adresa pro Rx kanál č.
TX_ADDR - cílová adresa přenášených paketů.
RX_PW_Pn - konstantní hodnota zatížení na Rx kanálu n.
FIFO_STATUS - stav automatického opakování, Tx FIFO buffer plný/prázdný, Rx FIFO plný/prázdný.
ACK_PLD je datová část pro odesílání paketů odpovědí, pokud jsou odpovědi paketů povoleny (zapsané se specifikací W_ACK_PAYLOAD).
TX_PLD - Tx FIFO (napsáno s instrukcemi W_TX_PAYLOAD a W_TX_PAYLOAD_NO_ACK).
RX_PLD - Rx FIFO (čteno pomocí instrukce R_RX_PAYLOAD).
DYNPD - povolení nebo zakázání funkce dynamického výpočtu užitečného zatížení na Rx kanálech.
FUNKCE – Povoluje nebo zakazuje funkce dynamického užitečného zatížení, ACK užitného zatížení a selektivního ACK.

Spojení

Kromě napájecích pinů lze kontakty signálních vedení připojit ke kontaktům zařízení napájeného napětím 5 V. Takovou kompatibilitu zajišťují vnitřní obvody mikroobvodu. Při připojení k portu P0 MK třídy 51 je potřeba pull-up rezistor 10 kOhm, pro ostatní porty není potřeba. Vstupy zařízení připojeného k modulu musí odebírat proud maximálně 10 mA. Modul je připojen k mikrokontroléru třídy AVR bez obvodů přizpůsobení úrovně signálu.

Uspořádání kolíků konektoru.

Modul má tyto kontakty:

GND - společný vodič,
VCC - 3,3 V napájecí zdroj,
CE - zapnutí rádiové cesty mikroobvodu na vysoké úrovni,
CSN - Chip Select Not, aktivní nízká. Pokud je nastavena nízká, modul reaguje na příkazy SPI. Toto je důležitější signál výběru MC než signál CE,
SCK - taktování sběrnice SPI, až 10 MHz,
MOSI - slouží k přenosu dat z mikrokontroléru do zařízení,
MISO - pro přenos dat ze zařízení do mikrokontroléru,
IRQ - výstup signálu pro vyžádání přerušení při odesílání a přijímání paketu.

Zástrčka konektoru modulu je instalována v konektoru zobrazeném na fotografii:

Rádiový modul lze snadno připojit k Arduino UNO. Připojte vodiče ke stejnojmenným kontaktům.

Zapojení je univerzální a vhodné pro všechny desky Arduino UNO, DUE, MEGA, Leonardo, Yun a podobné. Signály SPI jsou vyvedeny na konektor ICSP modulu mikrokontroléru Arduino. Napájecí kolík VCC je připojen k kolíku regulátoru napětí Arduino 3,3 V. Společný vodič je připojen ke kolíku GND. Signály CE a CSN select jsou připojeny k pinům definovaným v knihovně RF24, jako jsou 7 a 8.

Funkce programování

Pro Arduino programy se používá knihovna RF24 https://github.com/maniacbug/RF24/ Tato knihovna je vybavena velkým množstvím příkladů. Při zápisu programu do Arduina musí být modul transceiveru 2,4 GHz NRF24L01 odpojen od Arduina. Před prvním inicializačním příkazem je po připojení napájení vyžadována dvousekundová pauza. Před odesláním nové zprávy je nutné funkci RF24::flush_tx zveřejnit v knihovně RF24 a vymazat přenosovou vyrovnávací paměť. Ve výchozím nastavení modul pracuje na přenosovém kanálu 76h.

Provoz modulu v síti hvězdicové topologie

Ve výchozím nastavení je modul transceiveru NRF24L01 2,4 GHz nakonfigurován jako hlavní a může přijímat data na šesti kanálech. Každý ze šesti podřízených modulů musí být odpovídajícím způsobem nakonfigurován s jedinečnými adresami přiřazenými podřízeným modulům.

Poznámka

Před prvním zapnutím by měly být na modul namontovány 2 kondenzátory. Mezi piny VCC a GND připájejte kondenzátor v pouzdře SMD (planární) o kapacitě 0,1 μF z pájecí strany na montážní plošky na desce, poté připájejte elektrolytický kondenzátor o kapacitě 100 μF pro napětí 10 V. Je lepší ho napájet ne z Arduina, ale ze samostatného stabilizátoru napětí 3,3 V schopného poskytnout zatěžovací proud 200 mA.

Chcete-li vytvořit síť " Internet věcí" přidáním do zařízení externí bezdrátový modul nyní není nutné používat hotové dovážené výrobky - ruská společnost QMS vyrábí bezdrátové Rádiové moduly ZigBee pro rozsah 2,4 GHz MBee v2.1 A MBee v3.0 a také vývojové a ladicí nástroje pro ně.

S rozvojem bezdrátových systémů a se vznikem široké škály miniaturních výpočetních zařízení s nízkou spotřebou se v návaznosti na koncept „chytré domácnosti“ objevil termín „internet věcí“. Tento pojem zahrnuje interakci mezi různými zařízeními vybavenými bezdrátovými komunikačními rozhraními, jakož i jejich dálkové ovládání, včetně použití globální sítě. Na rozdíl od „chytré domácnosti“ „internet věcí“ v zásadě neznamená použití jediné technologie nebo standardu pro vytvoření prostředí pro přenos dat mezi zařízeními – je to právě přístup k organizaci interakce zcela heterogenních sítí. . Internetová práce je ponechána na specializovaných zařízeních – bránách, nebo zařízeních schopných pracovat v několika frekvenčních pásmech.

Pro řešení různých typů problémů a aplikací jsou vhodné specializované síťové topologie a protokoly pro organizaci interakce mezi síťovými uzly. Takže pro sadu senzorů, například, environmentální senzory, účtování spotřeby zdrojů, z dostupných a populárních technologií jsou nejvhodnější technologie Bluetooth Low Energy (BLE) a ZigBee. Zároveň je BLE relevantní pro malé oblasti, kde je možné „vidět“ všechna zařízení současně nebo není potřeba organizovat jejich koordinovanou interakci. Pro složitější případy je vhodnější protokol ZigBee. Umožňuje flexibilnější interakci mezi uzly sítě, včetně tak důležité věci, jako je samoorganizace sítě. Tyto vlastnosti sítí ZigBee jsou důležité zejména v případech, kdy je vyžadován dlouhodobý provoz sítě bez vnějšího vlivu (ve skutečnosti bez zásahu člověka).

Jedním z nejjednodušších způsobů připojení zařízení k bezdrátové síti za účelem zajištění jejich interakce je připojení externího modulu s bezdrátovým rozhraním.

Takové moduly mohou zahrnovat:

• ovladač a transceiver;
• systém na čipu obsahující jak transceiver, tak řídicí kontrolér v jednom balení.

V některých případech jsou moduly vybaveny vysokofrekvenčním zesilovačem, který umožňuje navýšení tzv. rozpočtu komunikačního kanálu (ve skutečnosti zóny spolehlivé komunikace nebo dostupnosti uzlu bezdrátové sítě vybaveného takovým modulem).

Bezdrátové moduly od společnosti "Systems, Modules and Components"

Na trhu je poměrně velké množství výrobců bezdrátových modulů. Mezi nimi je jedna z mála ruských společností - spol "Systémy, moduly a komponenty" (SMC), která nabízí řadu bezdrátových rádií MBee pro frekvenční pásma 868 MHz a 2,4 GHz.

Moduly MBee podporují sítě ZigBee PRO, RF4CE, 6LoWPAN a Simpliciti. Bezdrátové moduly MBee využívají systémy na čipu vyráběné společností Texas Instruments– (pásmo 868 MHz) a (pásmo 2,4 GHz). Řada modelů je vybavena rádiovými zesilovači nebo v závislosti na frekvenčním rozsahu.

Použití systémů na čipu umožňuje v závislosti na firmwaru měnit funkčnost modulů - od nejjednodušších rádiových extenderů až po multifunkční programovatelné uzly sítě sběru dat.

Uvažujme moduly rodiny MBee, navržené pro provoz v pásmu 2,4 GHz. Jedná se o moduly MBee v2.1 A MBee v3.0. Tyto moduly jsou založeny na systému CC2530 na čipu s 8bitovým procesorovým jádrem architektury x51, transceiverem a sadou periferních zařízení.

CC2530 podporuje následující řadu protokolů a standardů: TiMAC, Z-Stack, RF4CE, SimpliciTI.

Moduly MBee v2.1

MBee v2.1 (obrázek 1) je výkonný nízkoenergetický radiový modul navržený pro použití jako součást bezdrátového přenosu dat a řídicích systémů pracujících na základě protokolů ZigBee PRO a RF4CE v pásmu 2,4 GHz. Moduly MBee v2.1 lze použít jak jako ovladače pro vzdálená čidla v sítích ZigBee PRO, tak v bezdrátových miniaturních dálkových ovladačích nebo akčních členech pracujících pomocí protokolu RF4CE.

Rýže. 1. Externí modul MBee v2.1, model
s konektorem SMA

Moduly jsou založeny na rodině CC2530 čipů system-on-chip vyráběných společností Texas Instruments. Podporují plnou implementaci protokolů ZigBee PRO v pásmu 2,4 GHz a zajišťují minimální spotřebu energie ve všech režimech. Přítomnost specializovaného čipu zesilovače umožňuje použití modulů v těch úlohách, ve kterých je nutné dosáhnout maximálního komunikačního dosahu (obrázek 2). Volba konstrukčního řešení, stejně jako tvarový faktor výrobku, výrazně rozšiřují možné oblasti použití modulů.

Moduly MBee-2.4-2.1 lze použít v sítích standardu ZigBee PRO jak jako ovladače vzdálených senzorů, tak jako routery nebo koordinátory. Ve všech oblastech použití poskytují moduly MBee-2.4-2.1 jednoduché a cenově výhodné řešení a také minimalizují čas na vývoj finálního systému a uvedení na trh. Modulové desky obsahují všechny potřebné součásti vysokofrekvenční cesty a pasivní součástky silových obvodů, což umožňuje přidat tyto moduly do vašeho zařízení bez další námahy.

Moduly MBee mohou v některých případech sloužit jako přímá náhrada za moduly XBee vyráběné společností Společnost Digi Inc.– jsou kompatibilní z hlediska kolíků a rozměrů pouzdra.

RF charakteristiky :

• protokol nižší vrstvy: IEEE 802.15.4;
• protokol vyšší úrovně: ZigBee PRO;
• pracovní frekvenční rozsah: 2,405…2,480 GHz;
• programovatelný výstupní výkon vysílače: až +21 dBm;
• Citlivost přijímače: až -103 dBm;
• rychlost přenosu dat: až 250 kbit/s;
• typ modulace: 0-QPSK;
• typ antény: externí, SMA konektor (UFL – volitelné);
• komunikační dosah mimo městské oblasti v přímé viditelnosti: až 3000 m.

Elektrické vlastnosti:

• napájecí napětí: 2,0…3,6 V;
• proudový odběr v režimu vysílání: 130 mA;
• proudový odběr v režimu příjmu: 31 mA;
• proudová spotřeba v pohotovostním režimu: 1,6 µA;
• proudová spotřeba v režimu spánku: 0,4 µA;
• maximální nízké napětí na digitálních vstupech: 0,5 V;
• Minimální vysoké napětí na digitálních vstupech: 2,5 V.

Moduly MBee v3.0

Pro cenově dostupná zařízení, stejně jako pro případy, kdy je kritická velikost nebo není možné použít externí anténu, je ideální modul 2,4 GHz MBee v3.0. Tyto moduly jsou vyrobeny ve formě malé nízkoprofilové desky pro povrchovou montáž s roztečí pinů 2 mm.

Moduly MBee V3.0 jsou také založeny na SoC CC2530, ale na rozdíl od modulů verze 2.1 nemají externí RF zesilovač. V tomto ohledu je výstupní výkon modulů +4,5 dBm a citlivost přijímače -97 dBm. To je o něco nižší než verze 2.1. Přirozenou výhodou absence zesilovače je nižší spotřeba oproti v2.1.

Moduly MBee 3.0 (obrázek 3) jsou vybaveny tištěnou meandrovou inverzní F-anténou (kompaktní rozměry, šířka pásma cca 100 MHz, celkový vyzařovací diagram antény je blízký kruhovému).

Z hlediska umístění bočních pinů jsou moduly MBee 3.0 kompatibilní s moduly verze 2.1 (obrázek 4), nicméně existují rozdíly ve velikostech modulů, proto je při implementaci desky plošných spojů nutná korekce topologie.

Rozsah dostupných možností modulů je uveden v tabulce 1.

Tabulka 1. Dostupné modifikace modulů 2,4 GHz MBee

název	Typ anténního konektoru	Způsob instalace modulu
	SMA	Pinové konektory 2xPLS2-10, rozteč 2 mm
	RP-SMA
	SMA
	RP-SMA
	SMA	Instalace pájení
	RP-SMA
	UFL
		Pinové konektory 2x PLS2-12, rozteč 2 mm
		Instalace pájení
	Zapojení kabelu externí antény k modulu	Pinové konektory 2x PLS2-10, rozteč 2 mm
		Pinové konektory 2x PLS2-12, rozteč 2 mm
		Instalace pájení
	Vestavěná anténa

Práce s moduly MBee

Firma SMK dodává moduly MBee s předflashovaným bootloader programem vlastní konstrukce, který umožňuje nahrát a nakonfigurovat firmware pomocí specializované utility SysmcBootLoader a sériového portu (UART, TTL/CMOS s kompatibilními úrovněmi signálu).

V současné době jsou k dispozici následující možnosti firmwaru:

• bezdrátový UART – MBee2.1-2.4-serialExtender;
• koordinátor sítě ZigBee – Mbee-*- koordinátor;
• ZigBee router – MBee-*-Router;
• koncové zařízení sítě ZigBee – MBee-*-EndDevice.

Firmware SerialExtender umožňuje použití modulů v „transparentním“ režimu jako bezdrátové sériové rozhraní (radiový extender UART).

Firmware Coordinator, Router, EndDevice (koordinátor, router, respektive koncové zařízení) jsou navrženy pro organizaci bezdrátové sítě standardu ZigBee. Tato síť ZigBee je založena na stohu vyrobeném společností Texas Instruments - Z-Stack.

Vývojové a ladicí nástroje pro moduly MBee. Deska SerialBridge 2.1

Ve skutečnosti je standardním nástrojem pro přeprogramování a konfiguraci modulů MBee deska SerialBridge, která je také součástí rádiových modemů RFSerialBridge.

Tato deska vám umožňuje:

• aktualizovat firmware modulů MBee (celá produktová řada);
• změnit nastavení modulů MBee;
• připojte moduly k hostitelskému systému přes sériové rozhraní (dostupné možnosti jsou uvedeny v tabulce 2, vzhled je znázorněn na obrázku 5).

Deska obsahuje:

• sedadlo pro instalaci modulu;
• Převodníky rozhraní USB-UART, RS485-UART, RS-232-UART s odpovídajícími konektory;
• konfigurační konektory, které umožňují konfigurovat rozhraní - typ konverze, signály používané modemem nebo rozhraní;
• ladicí konektor;
• stabilizátory napájení a napájecí konektory.

Tabulka 2. Dostupné převody rozhraní pomocí karty SerialBridge 2.1

Rozhraní	USB	RS-232	RS-485
USB	–	+	+
RS-232	+	–	+
RS-485	+	+	–

Pomocí konfiguračních konektorů, instalací propojek na ně, můžete nakonfigurovat potřebné převody rozhraní, což vám umožní připojit bezdrátové moduly k různým průmyslovým, komunikačním, vědeckým zařízením a systémům účtování spotřeby zdrojů.

Pro konfiguraci modulů je deska SerialBridge připojena k osobnímu počítači přes USB rozhraní, které je operačním systémem definováno jako sériový nebo COM port.

Proces nastavení modulů je poměrně jednoduchý. Nezbytné:

• nainstalujte modul na desku sériového mostu;
• napájet desku a připojit ji k PC přes COM nebo USB rozhraní (v druhém případě není potřeba externí napájení);
• Stisknutím a podržením tlačítka „PING“ krátce stiskněte tlačítko „RESET“ a poté uvolněte „PING“.

Pokud je vše provedeno správně, modul přejde do režimu aktualizace/konfigurace firmwaru, což bude indikováno periodickým blikáním bílé LED na desce (doba přibližně 1,5...2 s). Poté musíte spustit program SysMC Serial BootLoader, vybrat port, ke kterému je modul připojen, a kliknout na tlačítko „poll“ v nabídce programu. V tomto případě se v pravé polovině okna programu zobrazí parametry modulu: název, verze a název firmwaru, role modulu – master/slave (obr. 6).

Pro firmware SerialExtender pro verze modulů MBee-2.4-2.1 a MBee-2.4-3.0 je k dispozici pouze úprava parametrů sériového portu – řízení rychlosti a průtoku.

Moduly s firmwarem SerialExtender lze použít k vytvoření bezdrátového komunikačního kanálu mezi vzdálenými uzly nebo mezi ovladačem a senzorem. Také tuto verzi firmwaru modulu lze úspěšně použít k testování možnosti komunikace mezi uzly senzorové sítě, například při plánování umístění bezdrátových transceiverů pro systémy automatizace budov nebo účtování spotřeby zdrojů.

Moduly MBee-2.4-2.1 ukázaly následující výsledky:

• plné pokrytí oblasti městského bytu signálem (100...150 m2);
• spolehlivý příjem a přenos signálu v rámci patra zděné budovy (horizontálně - cca 15...20 m, vertikálně stropem - ± podlaha);
• v lesních podmínkách - 180...300 m, v závislosti na hustotě stromů a topografii;
• v otevřeném prostoru - 500...700 m při použití bičových antén a náhodném umístění modulů.

Vnitřní testování bylo prováděno v hlučném rozsahu s velkým počtem fungujících Wi-Fi sítí.

Použití směrových antén a umístění modulů ve výšce 2...3 m nad zemí umožňuje dosah komunikace až 3...4 km v závislosti na povětrnostních podmínkách a terénu.

Ladicí sada MBeeKit Start

Dalším nástrojem pro ladění modulů MBee je sada Spuštění MBeeKit. Jeho cílem je představit technologii ZigBee a studovat možnosti bezdrátových modulů na příkladu typické bezdrátové sítě pro sběr dat (obrázek 7).

Sada obsahuje:

• tři moduly MBee-2.4-2.1;
• tři moduly MBee-2.4-3.0;
• dvě desky USB (UB-MBee) s portem USB;
• čtyři bateriové desky (BB-MBee) s bateriovým napájením.

Ladicí sada implementuje základní funkce distribuovaného sběru dat a řídicí sítě.

Moduly MBee-2.4-2.1 obsažené v sadě MBeeKit Start mají firmware „koordinátor“, „router“ a „koncové zařízení“, moduly verze 3.0 jsou dodávány s firmwarem „koncového zařízení“.

Při nasazování sítě založené na uzlech sady MBeeKit Start jsou možné dvě možnosti interakce uzlů - podřízené uzly jsou vázány na router a ty jsou vázány na koordinátora. V prvním případě se nejprve zapne koordinátor a poté router a koncové uzly, ve druhém se nejprve zapne router, poté koncová zařízení a poté koordinátor.

Koordinátor je odpovědný za počáteční spuštění sítě. Po prvním zapnutí koordinátor v závislosti na vnějším elektromagnetickém prostředí vybere frekvenční kanál podle kritéria nejnižší úrovně rušení a také určí další parametry sítě nutné pro jeho správnou funkci.

Lze připojit až 20 dětských zařízení, z nichž až šest mohou být routery. Koordinátor nemá režim spánku, protože přijímač musí být neustále zapnutý, aby poskytoval funkce směrování. V ladicí sadě MBeeKit Start je koordinátorovi přiřazena také funkce agregátora.

Router je zodpovědný za vytyčení tras mezi komunikujícími uzly. Používá se k rozšíření kapacity sítě a ke zvětšení oblasti pokrytí sítě. Umožňuje připojení až 20 dětských zařízení, z nichž až šest může být routerů. Nemá režim spánku. Může také plnit všechny funkce koncového zařízení.

Koncové zařízení nemá vlastnosti směrování. Typicky zařízení napájené bateriemi. Většinu času zůstává v režimu spánku, aby byla zajištěna maximální výdrž baterie. Hlavním účelem je shromažďovat a odesílat data ze senzorů různých typů do agregátoru (hubu). Může také ovládat různá zařízení na základě příkazů z jiných uzlů.

Moduly s firmwarem „koordinátor“ a „router“ jsou instalovány na desky UB-MBee, moduly s firmwarem „end device“ musí být instalovány na desky BB-MBee. Každý typ desky obsahuje simulátory digitálních a analogových signálů snímačů.

Deska UB-MBee obsahuje:

• převodník USB-UART;
• dvě uživatelská tlačítka;
• "Tlačítko reset;
• propojky pro volbu provozních režimů vývojové desky, měření různých parametrů a také konektor pro připojení uživatelských periferií.

Pomocí USB konektoru lze desky UB-MBee připojit k hostitelskému počítači, ze kterého bude možné sledovat provoz sítě a také ovládat moduly.

Battery Board (BB-MBee) obsahuje následující zařízení:

• dvě uživatelské LED;
• dvě uživatelská tlačítka;
• dva uživatelské potenciometry;
• "Tlačítko reset;
• pulsní převodník nahoru/dolů určený k napájení modulu MBee;
• přepínací převodník boost/buck určený k napájení periferních zařízení;
• propojky pro volbu provozních režimů desky, měření různých parametrů a také pro připojení uživatelských periferií;
• Prostor pro baterie pro jednu baterii velikosti AA.

Přítomnost propojek na desce BB-MBee umožňuje vývojáři vyhodnotit spotřebu energie autonomní jednotky ve všech provozních režimech a také porovnat spotřebu pro moduly různých řad:

• JP1 – pro připojení ampérmetru při měření proudového odběru periferních zařízení (snímače);
• JP2 – volba režimu napájení pro externí zařízení: pozice 1…2 – napájení externích senzorů je vždy napájeno, pozice 2…3 – napájení externích zařízení je vždy vypnuto, není zde propojka – napájení externích zařízení je řízeno modulem;
• JP3 – volba periferního napětí: pozice 1…2 – napětí 3,3 V, 2…3 – napětí 5 V.
• JP4 – pro připojení ampérmetru při měření celkového odběru proudu z baterie;
• JP5 – pro připojení ampérmetru při měření spotřeby modulu MBee.

Obě vývojové desky mají prototypová pole s roztečí mřížky 2,5 a 2 mm. Lze na ně namontovat vlastní uzly.

Oscilogramy odběru proudu samotných modulů a celkového odběru proudu desky (modul + boost převodník) jsou uvedeny na obrázcích 8...11.

Rýže. 11. Oscilogramy celkové proudové spotřeby modulu + desky převodníku
Napětí"

V režimu navázaného připojení je proudová spotřeba modulů asi 2...3 µA. Pro firmware „koncového zařízení“ je tedy průměrná spotřeba proudu pro moduly verze 2.1 přibližně 29 µA.

Jak je vidět, v režimu koncového zařízení mají moduly MBee celkem nízkou spotřebu, dokonce i použití pulzního boost měniče ponechává průměrnou spotřebu proudu v přijatelných mezích.

Závěr

Z hlediska designu a technických vlastností nejsou moduly MBee horší než analogy vyrobené v zahraničí a lze je úspěšně použít v automatizačních a automatizačních zařízeních, sítích pro sběr dat, účtování spotřeby zdrojů a bezpečnostních a požárních systémech.

Pomocí vývojové sady MBeeKit Start se vývojář bude moci seznámit s takovými funkcemi ZigBee, jako jsou:

• architektura a složení sítě;
• účel uzlů a jejich vlastnosti;
• sebeorganizace se samoléčebnou sítí.

Tato sada vám také umožňuje prozkoumat možnosti modulů ZigBee vyráběných společností SMK – verze MBee 2 a 3:

• Přenos dat z analogových senzorů;
• dotazování digitálních senzorů;
• ovládání digitálního výstupu;
• posouzení komunikačního dosahu mezi moduly;
• odběr proudu moduly v různých režimech.

Specialisté společnosti SMK neustále pracují na vytváření nových typů softwaru pro rádiové moduly své výroby. V tuto chvíli je k dispozici firmware pro všechny varianty bezdrátových modulů jak pro organizaci jednoduchého bezdrátového připojení, tak pro nasazení sítě sběru dat.

Literatura

1. http://sysmc.ru.
2. http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems.
3. http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modules/SYSMC_MBee_2.1.
4. http://sysmc.ru/documentation/hw_mb21.pdf.
5. http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modules/SYSMC_MBee_v3.0.
6. http://sysmc.ru/documentation/hw_mb3.pdf.
7. http://www.ti.com/lit/an/swra117d/swra117d.pdf.
8. http://sysmc.ru/documentation/MBee_schematic.lib.
9. http://sysmc.ru/documentation/bootloader/SysMC_BootLoader_207.zip.
10. http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/modems/RFSerialBridge.
11. http://sysmc.ru/solutions/wireless_modules_modems/development_kit/MBeeKit_start.
12. http://sysmc.ru/documentation/hw_mbks.pdf.

Rádiový modul nRF24L01 (Nordic Radio Frequency 2.4) - navrženo pro příjem a přenos dat rádiovým kanálem v povoleném rozsahu rádiových frekvencí ISM (Industrial, Scientific, Medical).

V modulu nRF24L01 je tento rozsah rozdělen do 128 kanálů v krocích po 1 MHz: od 2,400 GHz do 2,527 GHz. Například kanál 55 znamená, že příjem a vysílání bude probíhat na frekvenci 2,455 GHz. Kanál 99 bude vysílat/přijímat data na frekvenci 2,499 GHz a kanál 0 na frekvenci 2,400 GHz.

Modul umožňuje vybrat libovolný ze 128 kanálů pro příjem a (nebo) vysílání dat. Na každém kanálu můžete vytvořit síť 6 vysílačů a 1 přijímače.

Charakteristika

• Frekvenční rozsah: ISM (2,400 ... 2,527 GHz)
• Počet podporovaných kanálů: 128 (v krocích po 1 MHz)
• Modulace: GFSK
• Vzdálenost mezi vysílačem a přijímačem: až 100 m (v přímé viditelnosti)
• Rychlost přenosu dat: 0,25, 1, 2 Mb/s (uvedeno na náčrtu), při rychlosti 2 Mb/s jsou použity dva kanály.
• Výkon vysílače: -18, -12, -6, 0 dBm (uveden na náčrtu)
• Citlivost přijímače: -82 dBm
• Zisk antény: 2 dBm
• Rozhraní: SPI
• Napájecí napětí: 3,3 V (minimální povolené 1,9 V)
• Logické napětí "1": 3,3 ... 5 V
• Spotřeba proudu v datovém režimu: 11,3 mA (při maximálním vysílacím výkonu 0 dBm)
• Aktuální spotřeba v režimu příjmu dat: 12,3 mA (při maximální přenosové rychlosti 2 Mb/s)
• Aktuální spotřeba v úsporném režimu:
• Provozní teplota: -40 ... 85 °C
• Rozměry: 29x16x14 mm (včetně svorkovnice)
• Hmotnost: 2 g

Spojení

Pro snadné připojení k Arduinu použijte , nebo .

Modul je připojen na sběrnici SPI (piny: ), vstup modulu CSN (volba režimu) je připojen k libovolnému pinu a výstup přerušení IRQ se nepoužívá (pro ovládání). Modul podporuje 5 V logické úrovně na informačních pinech, ale napájecí piny Vcc a GND jsou napájeny 3,3 V DC. Pokud modul připojíte k napájecímu napětí 5 V, může selhat!

Pro připojení modulu nRF24L01 k němu lze použít, který má vlastní regulátor napětí 3,3 V a také signovanou jednořadou svorkovnici, která umožňuje připojit modul pomocí jednořadého kabelu. se připojuje k napájecímu napětí 5V DC.

Výživa

Vstupní napětí je 3,3 V DC, přiváděno na piny Vcc a GND.
Modul lze připojit přes, který je napájen napájecím napětím 5 V DC.

Pokud modul připojíte bez adaptéru k napájecímu napětí 5 V, může

zhroutit se!

Více o modulu

• Modul je připojen ke sběrnici SPI.
• Data jsou přenášena rádiovým kanálem na vzdálenost až 100 m v přímé viditelnosti (specifikováno výrobcem)
• Modulu je programově přiřazena role vysílače nebo přijímače, ale během provádění programu lze tuto roli změnit.
• Je možné nastavit: vysílací výkon (-18 dBm, -12 dBm, -6 dBm, 0 dBm), přenosovou rychlost (250 kb/s, 1 Mb/s, 2 Mb/s), číslo kanálu (0-127 ), identifikační čísla (5 bajtů) atd.
• Modul nevyžaduje připojení antény, protože je vestavěný a přítomen na modulu PCB.
• Proudy odebírané modulem nepřesahují 13 mA (jak při vysílání, tak při příjmu).
• Spolehlivost přijímaných dat je zajištěna přenosem cyklicky redundantního CRC kódu
• Implementována funkce řízení doručování dat. Přijímač po úspěšném přijetí datového paketu odešle do vysílače potvrzovací paket. A pokud vysílač neobdržel potvrzení od přijímače, odešle datový paket znovu (tato funkce je nakonfigurována v náčrtu).

Řízení

Protože na jednom kanálu může současně „vysílat“ až 6 vysílačů, je třeba každému vysílači přidělit jedinečný identifikátor (ID potrubí) – identifikátor potrubí. A přijímač dostane všechna ID potrubí těch vysílačů, jejichž data je třeba přijímat. Každý vysílač má tedy pouze jednu trubku. A přijímač je indikován od jednoho do šesti identifikátorů vysílače (pipe0 - pipe5). Pomocí těchto identifikátorů přijímač „rozumí“ datům, ze kterých vysílač přijal. Identifikační čísla potrubí si vymyslíte sami, skládají se z 5 bajtů. Existuje však několik podmínek: identifikátor každého vysílače na jednom kanálu musí být jedinečný. Přijímač obdrží identifikátory vysílače. identifikátory pro vysílače jsou nastaveny tak, že na přijímači se pipe0 a pipe1 mohou lišit ve všech bytech a pipe2 - pipe5 se musí lišit od pipe1 pouze v posledním byte.

Řešení rovnic a nerovnic s modulemčasto způsobuje potíže. Pokud však dobře chápete, o co jde absolutní hodnota čísla, A jak správně rozbalit výrazy obsahující znaménko modulu, pak přítomnost v rovnici výraz pod znaménkem modulu, přestává být překážkou jeho řešení.

Trochu teorie. Každé číslo má dvě vlastnosti: absolutní hodnotu čísla a jeho znaménko.

Například číslo +5 nebo jednoduše 5 má znaménko „+“ a absolutní hodnotu 5.

Číslo -5 má znaménko "-" a absolutní hodnotu 5.

Absolutní hodnoty čísel 5 a -5 jsou 5.

Absolutní hodnota čísla x se nazývá modul čísla a značí se |x|.

Jak vidíme, modul čísla se rovná samotnému číslu, pokud je toto číslo větší nebo rovno nule, a tomuto číslu s opačným znaménkem, je-li toto číslo záporné.

Totéž platí pro všechny výrazy, které se objeví pod znaménkem modulu.

Pravidlo rozšíření modulu vypadá takto:

|f(x)|= f(x), pokud f(x) ≥ 0, a

|f(x)|= - f(x), pokud f(x)< 0

Například |x-3|=x-3, pokud x-3≥0 a |x-3|=-(x-3)=3-x, pokud x-3<0.

Chcete-li vyřešit rovnici obsahující výraz pod znaménkem modulu, musíte nejprve rozšiřte modul podle pravidla rozšiřování modulu.

Pak se stane naše rovnice nebo nerovnost do dvou různých rovnic existujících na dvou různých číselných intervalech.

Jedna rovnice existuje na číselném intervalu, na kterém je výraz pod znaménkem modulu nezáporný.

A druhá rovnice existuje na intervalu, na kterém je výraz pod znaménkem modulu záporný.

Podívejme se na jednoduchý příklad.

Pojďme řešit rovnici:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Otevřeme modul.

|x-3|=x-3, pokud x-3≥0, tj. pokud x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x pokud x-3<0, т.е. если х<3

2. Dostali jsme dva číselné intervaly: x≥3 a x<3.

Uvažujme, do kterých rovnic se původní rovnice na každém intervalu transformuje:

A) Pro x≥3 |x-3|=x-3 a naše zranění má tvar:

Pozornost! Tato rovnice existuje pouze na intervalu x≥3!

Otevřeme závorky a představíme podobné pojmy:

a vyřešit tuto rovnici.

Tato rovnice má kořeny:

x 1 = 0, x 2 = 3

Pozornost! protože rovnice x-3=-x 2 +4x-3 existuje pouze na intervalu x≥3, zajímají nás pouze ty kořeny, které do tohoto intervalu patří. Tuto podmínku splňuje pouze x 2 =3.

B) V x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Pozornost! Tato rovnice existuje pouze na intervalu x<3!

Otevřeme závorky a představíme podobné pojmy. Dostaneme rovnici:

x 1 = 2, x 2 = 3

Pozornost! protože rovnice 3-x=-x 2 +4x-3 existuje pouze na intervalu x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Takže: z prvního intervalu vezmeme pouze kořen x=3, z druhého - kořen x=2.

Modul je jednou z věcí, o kterých se zdá, že každý slyšel, ale ve skutečnosti jim nikdo moc nerozumí. Proto dnes bude velká lekce věnovaná řešení rovnic s moduly.

Hned řeknu: lekce nebude obtížná. A obecně jsou moduly poměrně jednoduché téma. „Ano, samozřejmě, není to složité! Napadá mě to!" - řekne si spousta studentů, ale všechny ty mozkové zlomy se dějí kvůli tomu, že většina lidí nemá v hlavě znalosti, ale nějaké svinstvo. A cílem této lekce je proměnit kecy ve znalosti. :)

Trochu teorie

Tak pojďme. Začněme tím nejdůležitějším: co je modul? Dovolte mi připomenout, že modul čísla je prostě stejné číslo, ale brané bez znaménka mínus. To je například $\left| -5 \vpravo|=5$. Nebo $\left| -129,5 \right|=129,5 $.

Je to tak jednoduché? Ano, jednoduché. Jaká je tedy absolutní hodnota kladného čísla? Zde je to ještě jednodušší: modul kladného čísla se rovná tomuto číslu samotnému: $\left| 5 \vpravo|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 $ atd.

Ukazuje se zvláštní věc: různá čísla mohou mít stejný modul. Například: $\left| -5 \right|=\left| 5 \vpravo|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\right|=129,5 $. Je snadné vidět, o jaký druh čísel se jedná, jejichž moduly jsou stejné: tato čísla jsou opačná. Proto si všimneme, že moduly opačných čísel jsou stejné:

\[\left| -a \vpravo|=\vlevo| a\vpravo|\]

Další důležitý fakt: modul není nikdy záporný. Ať vezmeme jakékoli číslo – ať už kladné nebo záporné – jeho modul se vždy ukáže jako kladný (nebo v extrémních případech nula). Proto se modul často nazývá absolutní hodnotou čísla.

Pokud navíc spojíme definici modulu pro kladné a záporné číslo, získáme globální definici modulu pro všechna čísla. Konkrétně: modul čísla se rovná samotnému číslu, pokud je číslo kladné (nebo nule), nebo se rovná opačnému číslu, je-li číslo záporné. Můžete to napsat jako vzorec:

Existuje také modul nula, ale vždy je roven nule. Nula je navíc jediné číslo, které nemá opak.

Pokud tedy vezmeme v úvahu funkci $y=\left| x \right|$ a zkuste nakreslit jeho graf, dostanete něco takového:

Modulový graf a příklad řešení rovnice

Z tohoto obrázku je okamžitě jasné, že $\left| -m \vpravo|=\vlevo| m \right|$ a graf modulu nikdy neklesne pod osu x. Ale to není vše: červená čára označuje přímku $y=a$, která nám pro kladné $a$ dává dva kořeny najednou: $((x)_(1))$ a $((x) _(2)) $, ale o tom si promluvíme později. :)

Kromě čistě algebraické definice existuje ještě jedna geometrická. Řekněme, že na číselné ose jsou dva body: $((x)_(1))$ a $((x)_(2))$. V tomto případě výraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je prostě vzdálenost mezi určenými body. Nebo, chcete-li, délka segmentu spojujícího tyto body:

Modul je vzdálenost mezi body na číselné ose

Z této definice také vyplývá, že modul je vždy nezáporný. Ale dost definic a teorie - přejděme k reálným rovnicím. :)

Základní vzorec

Dobře, vyřešili jsme definici. Ale to to nijak neusnadnilo. Jak řešit rovnice obsahující právě tento modul?

Klid, jen klid. Začněme těmi nejjednoduššími věcmi. Zvažte něco takového:

\[\left| x\vpravo|=3\]

Takže modul $x$ je 3. Čemu by se $x$ mohlo rovnat? No, soudě podle definice, jsme docela spokojeni s $x=3$. Opravdu:

\[\left| 3\vpravo|=3\]

Existují jiná čísla? Zdá se, že Cap naznačuje, že existuje. Například $x=-3$ je také $\left| -3 \vpravo|=3$, tzn. je splněna požadovaná rovnost.

Takže možná, když budeme hledat a přemýšlet, najdeme další čísla? Ale ruku na srdce: další čísla nejsou. Rovnice $\left| x \right|=3$ má pouze dva kořeny: $x=3$ a $x=-3$.

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Nechte funkci $f\left(x \right)$ viset pod znaménkem modulu místo proměnné $x$ a místo trojky vpravo vložte libovolné číslo $a$. Dostaneme rovnici:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Jak to tedy můžeme vyřešit? Dovolte mi připomenout: $f\left(x \right)$ je libovolná funkce, $a$ je libovolné číslo. Tito. Vůbec cokoliv! Například:

\[\left| 2x+1 \vpravo|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Věnujme pozornost druhé rovnici. Okamžitě o něm můžete říci: nemá kořeny. Proč? Všechno je správně: protože to vyžaduje, aby se modul rovnal zápornému číslu, což se nikdy nestane, protože už víme, že modul je vždy kladné číslo nebo v extrémních případech nula.

Ale s první rovnicí je všechno zábavnější. Jsou dvě možnosti: buď je pod znaménkem modulu kladný výraz a pak $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, nebo je tento výraz stále záporný, a poté $\left| 2x+1 \vpravo|=-\vlevo(2x+1 \vpravo)=-2x-1$. V prvním případě bude naše rovnice přepsána takto:

\[\left| 2x+1 \vpravo|=5\Šipka vpravo 2x+1=5\]

A najednou se ukáže, že submodulární výraz $2x+1$ je skutečně kladný – rovná se číslu 5. To znamená můžeme tuto rovnici bezpečně vyřešit - výsledný kořen bude součástí odpovědi:

Ti zvláště nedůvěřiví mohou zkusit dosadit nalezený kořen do původní rovnice a ujistit se, že pod modulem je skutečně kladné číslo.

Nyní se podívejme na případ záporného submodulárního výrazu:

\[\left\( \begin(zarovnat)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(zarovnat) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Šipka doprava 2x+1=-5\]

Jejda! Opět je vše jasné: předpokládali jsme, že $2x+1 \lt 0$, a ve výsledku jsme dostali, že $2x+1=-5$ – tento výraz je skutečně menší než nula. Vyřešíme výslednou rovnici, přičemž již s jistotou víme, že nalezený kořen nám bude vyhovovat:

Celkem jsme opět dostali dvě odpovědi: $x=2$ a $x=3$. Ano, množství výpočtů se ukázalo být o něco větší než ve velmi jednoduché rovnici $\left| x \right|=3$, ale nic zásadně se nezměnilo. Takže možná existuje nějaký druh univerzálního algoritmu?

Ano, takový algoritmus existuje. A teď to analyzujeme.

Zbavit se znaménka modulu

Dostaneme rovnici $\left| f\left(x \right) \right|=a$ a $a\ge 0$ (jinak, jak již víme, neexistují žádné kořeny). Pak se můžete zbavit znaménka modulu pomocí následujícího pravidla:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Right šipka f\left(x \right)=\pm a\]

Naše rovnice s modulem se tedy rozdělí na dvě, ale bez modulu. To je celá technologie! Zkusme vyřešit pár rovnic. Začněme tímto

\[\left| 5x+4 \vpravo|=10\Šipka vpravo 5x+4=\pm 10\]

Uvažujme zvlášť, když je vpravo deset plus, a zvlášť, když je mínus. My máme:

\[\začátek(zarovnat)& 5x+4=10\šipka doprava 5x=6\šipka doprava x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Šipka doprava 5x=-14\Šipka doprava x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\konec (zarovnat)\]

To je vše! Máme dva kořeny: $x=1,2$ a $x=-2,8$. Celé řešení trvalo doslova dva řádky.

Ok, žádná otázka, pojďme se podívat na něco trochu vážnějšího:

\[\left| 7-5x\vpravo|=13\]

Opět otevřeme modul plus a mínus:

\[\začátek(zarovnání)& 7-5x=13\šipka doprava -5x=6\šipka doprava x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Šipka doprava -5x=-20\Šipka doprava x=4. \\\konec (zarovnat)\]

Opět pár řádků – a odpověď je připravena! Jak jsem řekl, na modulech není nic složitého. Stačí si zapamatovat pár pravidel. Proto pokračujeme a začínáme se skutečně složitějšími úkoly.

Případ proměnné na pravé straně

Nyní zvažte tuto rovnici:

\[\left| 3x-2 \vpravo|=2x\]

Tato rovnice se zásadně liší od všech předchozích. Jak? A to, že napravo od rovnítka je výraz $2x$ - a nemůžeme předem vědět, zda je kladný nebo záporný.

Co dělat v tomto případě? Nejprve to musíme jednou provždy pochopit pokud se ukáže, že pravá strana rovnice je záporná, pak rovnice nebude mít žádné kořeny- již víme, že modul se nemůže rovnat zápornému číslu.

A za druhé, pokud je pravá část stále kladná (nebo rovna nule), můžete jednat přesně stejným způsobem jako dříve: jednoduše otevřete modul zvlášť se znaménkem plus a zvlášť se znaménkem mínus.

Formulujeme tedy pravidlo pro libovolné funkce $f\left(x \right)$ a $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(zarovnat)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(zarovnat) \right.\]

Ve vztahu k naší rovnici dostáváme:

\[\left| 3x-2 \vpravo|=2x\Šipka doprava \doleva\( \začátek(zarovnání)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\konec (zarovnání) \vpravo.\]

No, s požadavkem $2x\ge 0$ si nějak poradíme. Nakonec můžeme hloupě dosadit kořeny, které dostaneme z první rovnice a zkontrolovat, zda nerovnost platí nebo ne.

Pojďme tedy vyřešit samotnou rovnici:

\[\začátek(zarovnání)& 3x-2=2\šipka doprava 3x=4\šipka doprava x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Šipka doprava 3x=0\Šipka doprava x=0. \\\konec (zarovnat)\]

Který z těchto dvou kořenů splňuje požadavek $2x\ge 0$? Ano oba! Odpověď tedy budou dvě čísla: $x=(4)/(3)\;$ a $x=0$. To je řešení. :)

Mám podezření, že se někteří studenti už začínají nudit? No, podívejme se na ještě složitější rovnici:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

I když to vypadá zle, ve skutečnosti je to stále stejná rovnice ve tvaru „modul se rovná funkci“:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

A řeší se to úplně stejně:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \vpravo|=x-((x)^(3))\Šipka vpravo \vlevo\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(zarovnat) \vpravo.\]

Nerovnosti se budeme věnovat později - je nějak moc zlá (ve skutečnosti je to jednoduché, ale nevyřešíme to). Prozatím je lepší se vypořádat s výslednými rovnicemi. Podívejme se na první případ - to je, když je modul rozbalen znaménkem plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Není nad to, že musíte všechno posbírat zleva, přinést podobné a uvidíte, co se stane. A stane se toto:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\konec (zarovnat)\]

Vyjmeme společný faktor $((x)^(2))$ ze závorek a dostaneme velmi jednoduchou rovnici:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Zde jsme využili důležité vlastnosti součinu, kvůli které jsme původní polynom zohlednili: součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule.

Nyní se vypořádejme s druhou rovnicí přesně stejným způsobem, který získáme rozšířením modulu o znaménko mínus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\konec (zarovnat)\]

Opět to samé: součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule. My máme:

\[\left[ \begin(zarovnat)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(zarovnat) \right.\]

Máme tři kořeny: $x=0$, $x=1,5$ a $x=(2)/(3)\;$. No, kdo z této sady půjde do konečné odpovědi? Chcete-li to provést, nezapomeňte, že máme další omezení ve formě nerovnosti:

Jak tento požadavek zohlednit? Pojďme jen nahradit nalezené kořeny a zkontrolovat, zda nerovnost platí pro tyto $x$ nebo ne. My máme:

\[\začátek(zarovnat)& x=0\Šipka doprava x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Šipka doprava x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Šipka doprava x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) \ge 0; \\\konec (zarovnat)\]

Odmocnina $x=1,5$ nám tedy nevyhovuje. A jako odpověď budou pouze dva kořeny:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Jak vidíte, ani v tomto případě nešlo o nic složitého - rovnice s moduly se vždy řeší pomocí algoritmu. Musíte jen dobře rozumět polynomům a nerovnicím. Proto přecházíme ke složitějším úkolům - již nebude jeden, ale dva moduly.

Rovnice se dvěma moduly

Dosud jsme studovali jen ty nejjednodušší rovnice – byl jeden modul a něco jiného. Toto „něco jiného“ jsme poslali do jiné části nerovnosti, pryč od modulu, aby se nakonec vše zredukovalo na rovnici ve tvaru $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ nebo ještě jednodušší $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Školce je ale konec – je čas zvážit něco vážnějšího. Začněme rovnicemi takto:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Toto je rovnice ve tvaru „modul se rovná modulu“. Zásadně důležitým bodem je absence dalších pojmů a faktorů: pouze jeden modul vlevo, jeden modul vpravo - a nic víc.

Někoho teď napadne, že řešení takových rovnic je složitější než to, co jsme dosud studovali. Ale ne: tyto rovnice se řeší ještě snadněji. Zde je vzorec:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Right šipka f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Všechno! Jednoduše zrovnoprávníme submodulární výrazy tak, že před jeden z nich dáme znaménko plus nebo mínus. A pak vyřešíme výsledné dvě rovnice - a kořeny jsou hotové! Žádná další omezení, žádné nerovnosti atd. Vše je velmi jednoduché.

Pokusme se vyřešit tento problém:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \vpravo|\]

Základní Watson! Rozšíření modulů:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \vpravo|\Šipka vpravo 2x+3=\pm \left(2x-7 \vpravo)\]

Zvažme každý případ zvlášť:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Šipka doprava 3=-7\Šipka doprava \emptyset ; \\& 2x+3=-\vlevo(2x-7 \vpravo)\Šipka doprava 2x+3=-2x+7. \\\konec (zarovnat)\]

První rovnice nemá kořeny. Protože kdy je $3=-7$? V jakých hodnotách $ x $? "Co je to sakra $x$?" Jsi ukamenovaný? Nejsou tam vůbec žádné $x$,“ říkáte. A budete mít pravdu. Získali jsme rovnost, která nezávisí na proměnné $x$, a přitom samotná rovnost je nesprávná. Proto tam nejsou žádné kořeny. :)

S druhou rovnicí je vše o něco zajímavější, ale také velmi, velmi jednoduché:

Jak vidíte, vše bylo vyřešeno doslova na pár řádcích - nic jiného jsme od lineární rovnice nečekali. :)

Výsledkem je, že konečná odpověď je: $x=1$.

Tak jak? Obtížný? Samozřejmě že ne. Zkusme něco jiného:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Opět máme rovnici ve tvaru $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Proto jej okamžitě přepíšeme a odhalíme znaménko modulu:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Možná se teď někdo zeptá: „Hele, jaký nesmysl? Proč se „plus-mínus“ objevuje na pravé straně a ne na levé? Uklidněte se, hned vám vše vysvětlím. Opravdu, v dobrém smyslu jsme měli přepsat naši rovnici takto:

Pak musíte otevřít závorky, přesunout všechny členy na jednu stranu rovnítka (protože rovnice bude samozřejmě v obou případech čtvercová) a pak najít kořeny. Ale musíte uznat: když se před třemi členy objeví „plus-minus“ (zvláště když jeden z těchto členů je kvadratický výraz), vypadá to nějak komplikovaněji než situace, kdy se „plus-mínus“ objeví pouze před dvěma členy.

Ale nic nám nebrání přepsat původní rovnici takto:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \vpravo|\Šipka vpravo \vlevo| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \vpravo|\]

Co se stalo? Nic zvláštního: jen prohodili levou a pravou stranu. Maličkost, která nám nakonec trochu usnadní život. :)

Obecně tuto rovnici řešíme s ohledem na možnosti s plusem a mínusem:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vlevo (x-1 \vpravo)\Šipka doprava ((x)^(2))-2x+1=0. \\\konec (zarovnat)\]

První rovnice má kořeny $x=3$ a $x=1$. Druhý je obecně přesný čtverec:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Proto má pouze jeden kořen: $x=1$. Ale tento kořen jsme již získali dříve. Do konečné odpovědi tedy vstoupí pouze dvě čísla:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Mise splněna! Můžete si vzít koláč z police a sníst ho. Jsou 2, tvoje je ta prostřední. :)

Důležitá poznámka. Přítomnost identických kořenů pro různé varianty rozšíření modulu znamená, že původní polynomy jsou faktorizovány a mezi těmito faktory se určitě najde jeden společný. Opravdu:

\[\begin(zarovnat)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\konec (zarovnat)\]

Jedna z vlastností modulu: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (tj. modul součinu se rovná součinu modulů), takže původní rovnici lze přepsat takto:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \vpravo|\]

Jak vidíte, máme opravdu společný faktor. Nyní, pokud shromáždíte všechny moduly na jedné straně, můžete tento faktor vyjmout z držáku:

\[\begin(zarovnat)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \vpravo|-\vlevo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\konec (zarovnat)\]

Nyní si pamatujte, že součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule:

\[\left[ \begin(zarovnat)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \vpravo|=1. \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]

Původní rovnice se dvěma moduly byla tedy zredukována na dvě nejjednodušší rovnice, o kterých jsme hovořili na samém začátku lekce. Takové rovnice se dají vyřešit doslova na pár řádcích. :)

Tato poznámka se může zdát zbytečně složitá a v praxi nepoužitelná. Ve skutečnosti však můžete narazit na mnohem složitější problémy, než na které se díváme dnes. V nich lze moduly kombinovat s polynomy, aritmetickými kořeny, logaritmy atd. A v takových situacích může být možnost snížit celkový stupeň rovnice vyjmutím něčeho ze závorek velmi, velmi užitečná. :)

Nyní bych se rád podíval na jinou rovnici, která se na první pohled může zdát šílená. Mnoho studentů se na tom zasekne, dokonce i ti, kteří si myslí, že modulům dobře rozumí.

Řešení této rovnice je však ještě jednodušší než to, na co jsme se podívali dříve. A pokud pochopíte proč, získáte další trik pro rychlé řešení rovnic s moduly.

Takže rovnice je:

\[\left| x-((x)^(3)) \vpravo|+\vlevo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ne, to není překlep: je to plus mezi moduly. A musíme zjistit, za kolik $ x $ se součet dvou modulů rovná nule. :)

V čem je vůbec problém? Problém je ale v tom, že každý modul je kladné číslo, nebo v extrémních případech nula. Co se stane, když sečtete dvě kladná čísla? Zjevně opět kladné číslo:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(zarovnat)\]

Poslední řádek vám může poskytnout představu: součet modulů je nula pouze tehdy, když je každý modul nula:

\[\left| x-((x)^(3)) \vpravo|+\vlevo| ((x)^(2))+x-2 \vpravo|=0\Šipka vpravo \vlevo\( \začátek(zarovnat)& \left| x-((x)^(3)) \vpravo|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(zarovnat) \right.\]

A kdy je modul roven nule? Pouze v jednom případě - když je submodulární výraz roven nule:

\[((x)^(2))+x-2=0\Šipka doprava \levá(x+2 \vpravo)\vlevo(x-1 \vpravo)=0\Šipka doprava \levá[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]

Máme tedy tři body, ve kterých je první modul vynulován: 0, 1 a -1; a také dva body, ve kterých se druhý modul vynuluje: −2 a 1. Potřebujeme však, aby byly oba moduly vynulovány současně, takže mezi nalezenými čísly musíme vybrat ta, která jsou zahrnuta v obě sady. Je zřejmé, že existuje pouze jedno takové číslo: $x=1$ – toto bude konečná odpověď.

Metoda štěpení

No, už jsme probrali spoustu problémů a naučili se spoustu technik. Myslíte, že je to všechno? Ale ne! Nyní se podíváme na finální techniku ​​– a zároveň tu nejdůležitější. Budeme mluvit o rozdělovacích rovnicích s modulem. O čem si vůbec budeme povídat? Vraťme se trochu zpět a podívejme se na nějakou jednoduchou rovnici. Například toto:

\[\left| 3x-5 \vpravo|=5-3x\]

V zásadě již víme, jak takovou rovnici vyřešit, protože jde o standardní konstrukci tvaru $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Zkusme se ale na tuto rovnici podívat z trochu jiného úhlu. Přesněji, zvažte výraz pod znaménkem modulu. Dovolte mi, abych vám připomněl, že modul libovolného čísla se může rovnat samotnému číslu nebo může být opačný k tomuto číslu:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(zarovnat)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(zarovnat) \right.\]

Ve skutečnosti je tato nejednoznačnost celým problémem: protože se číslo pod modulem mění (závisí na proměnné), není nám jasné, zda je kladné nebo záporné.

Ale co když zpočátku požadujete, aby toto číslo bylo kladné? Například požadujeme, aby $3x-5 \gt 0$ - v tomto případě máme zaručeno, že dostaneme kladné číslo pod znaménkem modulu a můžeme se zcela zbavit právě tohoto modulu:

Naše rovnice se tak změní na lineární, kterou lze snadno vyřešit:

Pravda, všechny tyto úvahy dávají smysl pouze za podmínky $3x-5 \gt 0$ - tento požadavek jsme sami zavedli, abychom modul jednoznačně odhalili. Proto dosaďte nalezené $x=\frac(5)(3)$ do této podmínky a zkontrolujte:

Ukazuje se, že pro zadanou hodnotu $x$ není náš požadavek splněn, protože výraz se ukázal být roven nule a my potřebujeme, aby byl přísně větší než nula. Smutné. :(

Ale je to v pořádku! Koneckonců existuje další možnost $3x-5 \lt 0$. Navíc: existuje také případ $3x-5=0$ - to je také třeba vzít v úvahu, jinak bude řešení neúplné. Zvažte tedy případ $3x-5 \lt 0$:

Je zřejmé, že modul se otevře se znaménkem mínus. Pak ale nastane zvláštní situace: jak vlevo, tak vpravo v původní rovnici bude trčet stejný výraz:

Zajímalo by mě, kolik $x$ bude výraz $5-3x$ roven výrazu $5-3x$? I kapitán Obviousness by se z takových rovnic udusil slinami, ale my víme: tato rovnice je identita, tzn. platí pro jakoukoli hodnotu proměnné!

To znamená, že nám bude vyhovovat libovolný $x$. Máme však omezení:

Jinými slovy, odpověď nebude jedno číslo, ale celý interval:

Nakonec zbývá zvážit ještě jeden případ: $3x-5=0$. Všechno je zde jednoduché: pod modulem bude nula a modul nula se také rovná nule (to vyplývá přímo z definice):

Ale pak původní rovnice $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bude přepsáno takto:

Tento kořen jsme již získali výše, když jsme uvažovali případ $3x-5 \gt 0$. Navíc je tento kořen řešením rovnice $3x-5=0$ - to je omezení, které jsme sami zavedli pro reset modulu. :)

Kromě intervalu se tedy spokojíme i s číslem ležícím na samém konci tohoto intervalu:

Slučování kořenů v modulových rovnicích

Celková konečná odpověď: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Takové svinstvo v odpovědi na poměrně jednoduchou (v podstatě lineární) rovnici s modulem není příliš běžné, Zvykněte si na to: obtížnost modulu spočívá v tom, že odpovědi v takových rovnicích se mohou ukázat jako zcela nepředvídatelné.

Něco jiného je mnohem důležitější: právě jsme analyzovali univerzální algoritmus pro řešení rovnice s modulem! A tento algoritmus se skládá z následujících kroků:

1. Srovnejte každý modul v rovnici s nulou. Dostaneme několik rovnic;
2. Vyřešte všechny tyto rovnice a označte kořeny na číselné ose. V důsledku toho bude přímka rozdělena do několika intervalů, z nichž každý bude jedinečně odhalen;
3. Vyřešte původní rovnici pro každý interval a spojte své odpovědi.

To je vše! Zbývá jen jedna otázka: co dělat s kořeny získanými v kroku 1? Řekněme, že máme dva kořeny: $x=1$ a $x=5$. Rozdělí číselnou řadu na 3 části:

Rozdělení číselné osy na intervaly pomocí bodů

Jaké jsou tedy intervaly? Je jasné, že jsou tři:

1. Ten úplně vlevo: $x \lt 1$ — samotná jednotka není zahrnuta v intervalu;
2. Centrální: $1\le x \lt 5$ - zde je jeden zahrnut do intervalu, ale pět není zahrnuto;
3. Nejvíce vpravo: $x\ge 5$ - pět je zahrnuto pouze zde!

Myslím, že vzorec už chápete. Každý interval zahrnuje levý konec a nezahrnuje pravý.

Na první pohled se takový zápis může zdát nepohodlný, nelogický a obecně nějaký bláznivý. Ale věřte mi: po troše cviku zjistíte, že tento přístup je nejspolehlivější a nepřekáží při jednoznačném otevírání modulů. Je lepší použít takové schéma, než pokaždé přemýšlet: dát levý/pravý konec aktuálnímu intervalu nebo ho „hodit“ do dalšího.

Tím lekce končí. Stáhněte si úlohy k samostatnému řešení, procvičte, porovnejte s odpověďmi - a uvidíme se v další lekci, která bude věnována nerovnostem s moduly. :)