Která čísla jsou racionální a která iracionální příklady. Iracionální čísla

Co jsou to iracionální čísla? Proč se jim tak říká? Kde se používají a jaké to jsou? Na tyto otázky dokáže bez přemýšlení odpovědět jen málokdo. Ale ve skutečnosti jsou odpovědi na ně docela jednoduché, i když ne každý je potřebuje a ve velmi vzácných situacích

Esence a označení

Iracionální čísla jsou nekonečná neperiodická čísla Potřeba zavést tento pojem je způsobena tím, že k řešení nových problémů, které se objevují, již nestačily dříve existující pojmy reálných nebo reálných, celých, přirozených a racionálních čísel. Chcete-li například vypočítat, která veličina je druhá mocnina 2, musíte použít neperiodická nekonečná desetinná místa. Navíc mnoho jednoduchých rovnic také nemá řešení bez zavedení konceptu iracionálního čísla.

Tato množina je označena jako I. A jak je již zřejmé, tyto hodnoty nelze reprezentovat jako jednoduchý zlomek, jehož čitatel bude celé číslo a jmenovatel bude

Poprvé, tak či onak, se indičtí matematici s tímto jevem setkali v 7. století, kdy se zjistilo, že odmocniny některých veličin nelze výslovně uvést. A první důkaz existence takových čísel je připisován pythagorejskému Hippasovi, který to udělal při studiu rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku. Někteří další vědci, kteří žili před naším letopočtem, vážně přispěli ke studiu tohoto souboru. Zavedení konceptu iracionálních čísel znamenalo revizi stávajícího matematického systému, a proto jsou tak důležitá.

původ jména

Pokud je poměr přeložený z latiny „zlomek“, „poměr“, pak předpona „ir“
dává tomuto slovu opačný význam. Název množiny těchto čísel tedy naznačuje, že nemohou být korelována s celým číslem nebo zlomkem a mají samostatné místo. To vyplývá z jejich podstaty.

Místo v celkové klasifikaci

Iracionální čísla patří spolu s čísly racionálními do skupiny reálných nebo reálných čísel, která zase patří do komplexních čísel. Neexistují žádné podmnožiny, ale existují algebraické a transcendentální varianty, o kterých bude pojednáno níže.

Vlastnosti

Protože iracionální čísla jsou součástí množiny reálných čísel, platí pro ně všechny jejich vlastnosti, které se studují v aritmetice (nazývají se také základní algebraické zákony).

a + b = b + a (komutativity);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);

a + (-a) = 0 (existence opačného čísla);

ab = ba (komutativní zákon);

(ab)c = a(bc) (distributivity);

a(b+c) = ab + ac (zákon o rozdělení);

a x 1/a = 1 (existence převráceného čísla);

Srovnání se také provádí v souladu s obecnými zákony a zásadami:

Jestliže a > b a b > c, pak a > c (tranzitivita relace) a. atd.

Všechna iracionální čísla lze samozřejmě převést pomocí základní aritmetiky. Neexistují pro to žádná zvláštní pravidla.

Kromě toho platí Archimédův axiom pro iracionální čísla. Uvádí, že pro libovolné dvě veličiny a a b platí, že pokud a vezmete jako termín dostatečně často, můžete překročit b.

Používání

Navzdory tomu, že se s nimi v každodenním životě příliš často nesetkáte, iracionální čísla nelze spočítat. Je jich obrovské množství, ale nejsou téměř vidět. Iracionální čísla jsou všude kolem nás. Příklady, které zná každý, jsou číslo pí rovné 3,1415926... nebo e, které je v podstatě základem přirozeného logaritmu, 2,718281828... V algebře, trigonometrii a geometrii se musí používat neustále. Mimochodem, slavný význam „zlatého řezu“, tedy poměru větší části k menší části a naopak, také

patří do této sady. I ta méně známá „stříbrná“.

Na číselné ose jsou umístěny velmi hustě, takže mezi jakýmikoli dvěma veličinami klasifikovanými jako racionální se jistě objeví jedna iracionální.

S touto sadou je spojena ještě spousta nevyřešených problémů. Existují kritéria, jako je míra iracionality a normalita čísla. Matematici pokračují ve studiu nejvýznamnějších příkladů, aby zjistili, zda patří do jedné nebo druhé skupiny. Například se má za to, že e je normální číslo, to znamená, že pravděpodobnost výskytu různých číslic v jeho zápisu je stejná. Pokud jde o pí, výzkum stále probíhá. Míra iracionality je hodnota, která ukazuje, jak dobře lze dané číslo aproximovat racionálními čísly.

Algebraické a transcendentální

Jak již bylo zmíněno, iracionální čísla se konvenčně dělí na algebraická a transcendentální. Podmíněně, protože přísně vzato se tato klasifikace používá k rozdělení množiny C.

Toto označení skrývá komplexní čísla, která zahrnují reálná nebo reálná čísla.

Algebraické je tedy hodnota, která je kořenem polynomu, který není shodně roven nule. Například druhá odmocnina z 2 by byla v této kategorii, protože je řešením rovnice x 2 - 2 = 0.

Všechna ostatní reálná čísla, která nesplňují tuto podmínku, se nazývají transcendentální. Tato varieta zahrnuje nejznámější a již zmíněné příklady - číslo pí a základ přirozeného logaritmu e.

Je zajímavé, že ani jedno, ani druhé nebyly původně vyvinuty matematiky v této funkci, jejich iracionalita a transcendence byly prokázány mnoho let po jejich objevu. Pro pí byl důkaz podán v roce 1882 a zjednodušen v roce 1894, čímž skončila 2500 let trvající debata o problému kvadratury kruhu. Stále to není úplně prozkoumáno, takže moderní matematici mají na čem pracovat. Mimochodem, první poměrně přesný výpočet této hodnoty provedl Archimedes. Před ním byly všechny výpočty příliš přibližné.

Pro e (Eulerovo nebo Napierovo číslo) byl v roce 1873 nalezen důkaz jeho transcendence. Používá se při řešení logaritmických rovnic.

Mezi další příklady patří hodnoty sinus, kosinus a tangens pro jakoukoli algebraickou nenulovou hodnotu.

A π

Množina iracionálních čísel je tedy rozdíl I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \zpětné lomítko \mathbb (Q) ) množiny reálných a racionálních čísel.

Existenci iracionálních čísel, přesněji úseček nesouměřitelných s úsečkou o jednotkové délce, znali již antičtí matematici: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě číslo 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Vlastnosti

• Součet dvou kladných iracionálních čísel může být racionální číslo.
• Iracionální čísla definují Dedekindovy úseky v množině racionálních čísel, která nemají největší číslo v nižší třídě a nemají nejmenší číslo ve vyšší třídě.
• Množina iracionálních čísel je hustá všude na číselné ose: mezi jakýmikoli dvěma odlišnými čísly je iracionální číslo.
• Pořadí na množině iracionálních čísel je izomorfní k řádu na množině reálných transcendentálních čísel. [ ]

Algebraická a transcendentální čísla

Každé iracionální číslo je buď algebraické nebo transcendentální. Množina algebraických čísel je spočetná množina. Protože množina reálných čísel je nepočitatelná, množina iracionálních čísel je nepočitatelná.

Množina iracionálních čísel je množinou druhé kategorie.

Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:

Příběh

Starověk

Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750–690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit [ ] .

První důkaz o existenci iracionálních čísel, přesněji řečeno o existenci nesouměřitelných segmentů, je obvykle připisován pythagorejskému Hippasovi z Metaponta (přibližně 470 př. n. l.). V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná jednotka délky, dostatečně malá a nedělitelná, která zahrnuje celé číslo, kolikrát v jakémkoli segmentu [ ] .

Neexistují žádné přesné údaje o tom, které číslo bylo Hippasem prokázáno jako iracionální. Podle legendy jej našel studiem délek stran pentagramu. Proto je rozumné předpokládat, že to byl zlatý řez, protože se jedná o poměr úhlopříčky ke straně v pravidelném pětiúhelníku.

Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě, a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.

Později Eudoxus z Knidu (410 nebo 408 př. n. l. - 355 nebo 347 př. n. l.) vyvinul teorii proporcí, která brala v úvahu racionální i iracionální vztahy. To posloužilo jako základ pro pochopení základní podstaty iracionálních čísel. Kvantita se začala považovat nikoli za číslo, ale za označení entit, jako jsou úsečky, úhly, plochy, objemy, časové intervaly – entity, které se mohou plynule měnit (v moderním slova smyslu). Velikosti byly porovnávány s čísly, která se mohou měnit pouze „skoky“ z jednoho čísla na další, například ze 4 na 5. Čísla se skládají z nejmenší nedělitelné veličiny, zatímco veličiny lze neomezeně zmenšovat.

Protože žádná kvantitativní hodnota nekorelovala s velikostí, Eudoxus byl schopen pokrýt souměřitelné i nesouměřitelné veličiny, když definoval zlomek jako poměr dvou veličin a poměr jako rovnost dvou zlomků. Odstraněním kvantitativních hodnot (čísel) z rovnic se vyhnul pasti nutnosti nazývat iracionální veličinu číslem. Eudoxova teorie umožnila řeckým matematikům neuvěřitelný pokrok v geometrii a poskytla jim nezbytný logický základ pro práci s nesouměřitelnými veličinami. Desátá kniha Euklidových živlů je věnována klasifikaci iracionálních veličin.

Středověk

Středověk byl poznamenán přijetím pojmů jako nula, záporná čísla, celá čísla a zlomky, nejprve indickými a poté čínskými matematiky. Později se přidali arabští matematici, kteří jako první považovali záporná čísla za algebraické objekty (spolu s kladnými čísly), což umožnilo vyvinout disciplínu, která se dnes nazývá algebra.

Arabští matematici spojili starověké řecké pojmy „číslo“ a „velikost“ do jediné, obecnější představy o reálných číslech. Oni byli kritičtí k Euklidovým myšlenkám na vztahy, v kontrastu, oni vyvinuli teorii vztahů libovolných množství a rozšířil pojetí čísla k vztahům spojitých množství; Ve svém komentáři k Euklidově knize 10 prvků perský matematik Al Makhani (asi 800 n. l.) prozkoumal a klasifikoval kvadratická iracionální čísla (čísla tvaru) a obecnější kubická iracionální čísla. Definoval racionální a iracionální veličiny, které nazval iracionálními čísly. S těmito předměty snadno operoval, ale mluvil o nich jako o samostatných předmětech, například:

Na rozdíl od Euklidova pojetí, že veličiny jsou primárně úsečky, Al Makhani považoval celá čísla a zlomky za racionální veličiny a druhé mocniny a krychlové odmocniny za iracionální. Zavedl také aritmetický přístup k množině iracionálních čísel, protože to byl on, kdo ukázal iracionalitu následujících veličin:

Egyptský matematik Abu Kamil (asi 850 nl - asi 930 nl) byl první, kdo považoval za přijatelné rozpoznávat iracionální čísla jako řešení kvadratických rovnic nebo jako koeficienty v rovnicích - obecně v kvadratickém nebo kubickém tvaru kořeny, stejně jako kořeny čtvrtého stupně. V 10. století vytvořil irácký matematik Al Hashimi obecné důkazy (spíše než vizuální geometrické demonstrace) iracionality součinu, kvocientu a výsledků jiných matematických transformací nad iracionálními a racionálními čísly. Al Khazin (900 nl - 971 nl) uvádí následující definici racionálního a iracionálního množství:

Mnohé z těchto myšlenek později převzali evropští matematici po překladu arabských textů do latiny ve 12. století. Al Hassar, arabský matematik z Maghrebu, který se specializoval na islámské dědické právo, zavedl ve 12. století moderní symbolický matematický zápis zlomků, přičemž čitatel a jmenovatel dělil vodorovnou čárou. Stejný zápis se pak objevil v dílech Fibonacciho ve 13. století. Během XIV-XVI století. Madhava ze Sangamagrama a zástupci Kerala School of Astronomy and Mathematics zkoumali nekonečné řady konvergující k určitým iracionálním číslům, jako je π, a také ukázali iracionalitu určitých goniometrických funkcí. Jestadeva prezentoval tyto výsledky v knize Yuktibhaza. (dokázat zároveň existenci transcendentálních čísel), čímž přehodnotil Euklidovu práci na klasifikaci iracionálních čísel. Práce na toto téma byly publikovány v roce 1872

Pokračovací zlomky, úzce související s iracionálními čísly (nepřetržitý zlomek představující dané číslo je nekonečný právě tehdy, je-li číslo iracionální), poprvé prozkoumal Cataldi v roce 1613, poté se znovu dostal do pozornosti v práci Eulera a v počátek 19. století – v dílech Lagrangeových. Dirichlet také významně přispěl k rozvoji teorie spojitých zlomků. V roce 1761 to Lambert ukázal na pokračovací zlomky π (\displaystyle \pi) není racionální číslo, a také to e x (\displaystyle e^(x)) A tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) jsou iracionální pro všechny nenulové racionální x (\displaystyle x). Ačkoli Lambertův důkaz může být nazýván neúplným, je obecně považován za docela pečlivý, zejména s ohledem na dobu, kdy byl napsán. Legendre v roce 1794, po zavedení funkce Bessel-Clifford, to ukázal π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) iracionální, odkud pochází iracionalita? π (\displaystyle \pi) následuje triviálně (racionální číslo na druhou by dalo racionální).

Existenci transcendentálních čísel dokázal Liouville v letech 1844-1851. Později Georg Cantor (1873) ukázal jejich existenci pomocí odlišné metody a tvrdil, že jakýkoli interval skutečné řady obsahuje nekonečné množství transcendentálních čísel. Charles Hermite to dokázal v roce 1873 E transcendentální a Ferdinand Lindemann v roce 1882 na základě tohoto výsledku prokázal transcendenci π (\displaystyle \pi ) Literatura

Již staří matematici znali segment jednotkové délky: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě čísla.

Iracionální jsou:

Příklady důkazů iracionality

Kořen 2

Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován ve formě neredukovatelného zlomku, kde a jsou celá čísla. Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:

Z toho vyplývá, že sudé je sudé a . Ať je tam, kde je celek. Pak

Proto sudý znamená sudý a . Zjistili jsme, že a jsou sudé, což je v rozporu s neredukovatelností zlomku . To znamená, že původní předpoklad byl nesprávný a jedná se o iracionální číslo.

Binární logaritmus čísla 3

Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován jako zlomek, kde a jsou celá čísla. Od , a lze vybrat jako kladné. Pak

Ale sudé a liché. Dostáváme rozpor.

E

Příběh

Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750 př. n. l. - asi 690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit. .

První důkaz o existenci iracionálních čísel je obvykle připisován Hippasovi z Metapontu (asi 500 př. n. l.), Pythagorejci, který tento důkaz našel studiem délek stran pentagramu. V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná délková jednotka, dostatečně malá a nedělitelná, která vstupuje do libovolného segmentu vícekrát jako celé číslo. Hippus však tvrdil, že neexistuje jediná jednotka délky, protože předpoklad její existence vede k rozporu. Ukázal, že pokud přepona rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku obsahuje celé číslo jednotkových segmentů, pak toto číslo musí být sudé i liché. Důkaz vypadal takto:

• Poměr délky přepony k délce ramene rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku lze vyjádřit jako A:b, Kde A A b zvoleny jako nejmenší možné.
• Podle Pythagorovy věty: A² = 2 b².
• Protože A- dokonce, A musí být sudé (protože druhá mocnina lichého čísla by byla lichá).
• Protože A:b neredukovatelné b musí být liché.
• Protože A dokonce, označujeme A = 2y.
• Pak A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tedy b- i tehdy b dokonce.
• Bylo však prokázáno, že b zvláštní. Rozpor.

Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě, a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.

viz také

Poznámky

Již staří matematici znali segment jednotkové délky: znali například nesouměřitelnost úhlopříčky a strany čtverce, což je ekvivalentní iracionalitě čísla.

Iracionální jsou:

Příklady důkazů iracionality

Kořen 2

Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován ve formě neredukovatelného zlomku, kde a jsou celá čísla. Uveďme druhou mocninu předpokládané rovnosti:

Z toho vyplývá, že sudé je sudé a . Ať je tam, kde je celek. Pak

Proto sudý znamená sudý a . Zjistili jsme, že a jsou sudé, což je v rozporu s neredukovatelností zlomku . To znamená, že původní předpoklad byl nesprávný a jedná se o iracionální číslo.

Binární logaritmus čísla 3

Předpokládejme opak: je racionální, to znamená, že je reprezentován jako zlomek, kde a jsou celá čísla. Od , a lze vybrat jako kladné. Pak

Ale sudé a liché. Dostáváme rozpor.

E

Příběh

Koncept iracionálních čísel byl implicitně přijat indickými matematiky v 7. století př. n. l., když Manava (asi 750 př. n. l. - asi 690 př. n. l.) přišel na to, že odmocniny některých přirozených čísel, jako jsou 2 a 61, nelze explicitně vyjádřit. .

První důkaz o existenci iracionálních čísel je obvykle připisován Hippasovi z Metapontu (asi 500 př. n. l.), Pythagorejci, který tento důkaz našel studiem délek stran pentagramu. V době Pythagorejců se věřilo, že existuje jediná délková jednotka, dostatečně malá a nedělitelná, která vstupuje do libovolného segmentu vícekrát jako celé číslo. Hippus však tvrdil, že neexistuje jediná jednotka délky, protože předpoklad její existence vede k rozporu. Ukázal, že pokud přepona rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku obsahuje celé číslo jednotkových segmentů, pak toto číslo musí být sudé i liché. Důkaz vypadal takto:

• Poměr délky přepony k délce ramene rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku lze vyjádřit jako A:b, Kde A A b zvoleny jako nejmenší možné.
• Podle Pythagorovy věty: A² = 2 b².
• Protože A- dokonce, A musí být sudé (protože druhá mocnina lichého čísla by byla lichá).
• Protože A:b neredukovatelné b musí být liché.
• Protože A dokonce, označujeme A = 2y.
• Pak A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² tedy b- i tehdy b dokonce.
• Bylo však prokázáno, že b zvláštní. Rozpor.

Řečtí matematici nazývali tento poměr nesouměřitelných veličin alogos(nevýslovné), ale podle legend nevzdávali Hippasovi náležitou úctu. Existuje legenda, že Hippas učinil objev, když byl na námořní plavbě, a byl hozen přes palubu jinými Pythagorejci „za vytvoření prvku vesmíru, který popírá doktrínu, že všechny entity ve vesmíru lze redukovat na celá čísla a jejich poměry“. Objev Hippause představoval vážný problém pro pythagorejskou matematiku a zničil základní předpoklad, že čísla a geometrické objekty jsou jedno a neoddělitelné.

viz také

Poznámky

Již dříve jsme ukázali, že $1\frac25$ je blízko $\sqrt2$. Pokud by se přesně rovnalo $\sqrt2$, . Pak je poměr $\frac(1\frac25)(1)$, který lze změnit na celočíselný poměr $\frac75$ vynásobením horní a dolní části zlomku 5 a bude to požadovaná hodnota.

Ale bohužel $1\frac25$ není přesná hodnota $\sqrt2$. Přesnější odpověď, $1\frac(41)(100)$, nám dává vztah $\frac(141)(100)$. Ještě větší přesnosti dosáhneme, když přirovnáme $\sqrt2$ k $1\frac(207)(500)$. V tomto případě bude poměr v celých číslech roven $\frac(707)(500)$. Ale $1\frac(207)(500)$ není přesná hodnota druhé odmocniny ze 2. Řečtí matematici strávili spoustu času a úsilí, aby vypočítali přesnou hodnotu $\sqrt2$, ale nikdy neuspěli. Nebyli schopni reprezentovat poměr $\frac(\sqrt2)(1)$ jako poměr celých čísel.

Konečně velký řecký matematik Euclid dokázal, že bez ohledu na to, jak moc se přesnost výpočtů zvýší, je nemožné získat přesnou hodnotu $\sqrt2$. Neexistuje žádný zlomek, který po odmocnění dá výsledek 2. Říká se, že Pythagoras byl první, kdo k tomuto závěru přišel, ale tato nevysvětlitelná skutečnost vědce ohromila natolik, že se zapřisáhl a složil od svých studentů přísahu, že toto tajemství objevu. Tato informace však nemusí být pravdivá.

Ale pokud číslo $\frac(\sqrt2)(1)$ nelze reprezentovat jako poměr celých čísel, pak žádné číslo obsahující $\sqrt2$, například $\frac(\sqrt2)(2)$ nebo $\frac (4)(\sqrt2)$ také nemůže být reprezentováno jako poměr celých čísel, protože všechny takové zlomky lze převést na $\frac(\sqrt2)(1)$ vynásobené nějakým číslem. Takže $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Nebo $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, které lze převést vynásobením horní a dolní části $\sqrt2$ a získat $\frac(4) (\sqrt2)$. (Měli bychom si pamatovat, že bez ohledu na to, jaké je číslo $\sqrt2$, pokud jej vynásobíme $\sqrt2$, dostaneme 2.)

Protože číslo $\sqrt2$ nelze vyjádřit jako poměr celých čísel, je voláno iracionální číslo. Na druhou stranu jsou volána všechna čísla, která lze reprezentovat jako podíl celých čísel Racionální.

Všechna celá a zlomková čísla, kladná i záporná, jsou racionální.

Jak se ukázalo, většina odmocnin jsou iracionální čísla. Pouze čísla v řadě odmocnin mají racionální odmocniny. Tato čísla se také nazývají dokonalé čtverce. Racionální čísla jsou také zlomky vytvořené z těchto dokonalých čtverců. Například $\sqrt(1\frac79)$ je racionální číslo, protože $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ nebo $1\frac13$ (4 je kořen druhá odmocnina z 16 a 3 je druhá odmocnina z 9).